结论：律师提交取保候审申请资料后，可以依法通过合理方式与刑警部门沟通，但需注意方式、时机和程序合规性。以下从法律程序、沟通方式、注意事项三个角度展开分析：

1. 法律程序角度：律师有权跟进案件进展

根据《刑事诉讼法》第三十七条，辩护律师有权向侦查机关了解犯罪嫌疑人涉嫌的罪名和案件有关情况，提出意见。提交取保候审申请后，律师可通过书面或口头形式向办案民警询问申请审查进度（如是否已转交检察院、是否存在材料缺失等），这是法律赋予的执业权利，不属于“催促”的违规行为。
关键点：沟通需围绕“了解程序进展”展开，而非直接要求刑警“加快审批”，后者可能涉及干预执法程序的风险。

2. 沟通方式角度：需区分“合法跟进”与“不当催促”

• 合法跟进：律师可通过提交补充材料（如新证据）、书面催办函（注明法律依据及程序要求）、约谈办案民警等方式，推动程序流转。例如，若申请超过法定期限（一般刑事案件3日内答复），律师可依据《公安机关办理刑事案件程序规定》第八十七条，要求说明理由。
  
• 不当催促：若律师通过非正式渠道（如私人关系、施压）或违反程序的方式（如频繁电话骚扰、公开质疑办案效率）要求刑警“优先处理”，可能涉嫌干扰执法，甚至引发纪律处分。
  建议：优先采用书面形式（如律师函、情况说明），保留沟通记录，避免情绪化表达。

3. 注意事项角度：需兼顾效率与合规

• 时机选择：取保候审申请需经公安机关内部审批流程（如法制部门审核、领导签批），律师可在提交后3-5个工作日内首次跟进，避免过早干预。
  
• 材料完整性：若申请被退回补充材料，律师应第一时间配合完善，而非单纯催促。根据《刑事诉讼法》第九十五条，取保需满足“可能判处管制、拘役或独立适用附加刑”“患有严重疾病”“生活不能自理”等条件，材料需充分证明符合法定情形。
  
• 多部门协调：若公安机关长期未答复，律师可同时向同级检察院申请立案监督（依据《刑事诉讼法》第一百一十三条），通过法律监督程序推动进展。
  

总结：律师提交取保资料后，可通过合法途径与刑警沟通程序进展，但需严格遵守法律程序，避免不当干预。若遇到阻碍，建议结合书面催办、补充证据、申请监督等多手段维护当事人权益。如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。