针对您提出的“父亲死亡后，亲属关系证明应由什么单位开具”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
在办理与父亲死亡相关的亲属关系证明时，通常涉及两个方面的证明：一是父亲的死亡证明（若尚未办理或遗失），二是您与父亲之间的亲属关系证明。
一、父亲的死亡证明
若父亲有正式的死亡记录：
- 一般情况下，父亲的死亡证明应由其死亡时所在的医院或医疗机构出具。如果父亲是在家中去世且未经过医院处理，那么可能需要联系当地的殡仪馆或相关民政部门来了解如何获取死亡证明。
- 如果父亲已经火化，火化证也可以作为死亡证明的一种形式。
若父亲死亡多年且无正式死亡证明：
- 如您所提到的案例，如果父亲死亡多年且没有正式的死亡证明，您可以尝试联系父亲户籍所在地的派出所。派出所可能能够根据历史户籍档案查询到父亲的死亡注销信息，并据此开具户籍注销证明或死亡证明（具体名称可能因地区而异）。
- 如果派出所无法直接开具死亡证明，他们可能会指导您到其他相关部门（如社区、村委会等）开具证明。
二、您与父亲之间的亲属关系证明
一般情况：
- 亲属关系证明通常由户籍所在地的派出所或公安局户政室开具。这些部门拥有您的户籍档案，能够确认您与父亲之间的亲属关系。
办理流程：
- 您需要携带本人有效身份证件原件到户籍所在地的派出所或公安局户政室进行实人认证。
- 提交申请后，相关部门会审查您的户籍档案，确认您与父亲之间的亲属关系。
- 审查通过后，相关部门会现场为您打印《亲属关系证明》，该证明通常有效期为三个月。
特殊情况：
- 如果您因为某些原因无法亲自到场办理，可以尝试通过网上办理或快递申请的方式提交申请。但请注意，不同地区可能对此有不同的规定和流程。
- 如果要求出具证明的单位有特定的公函或格式要求，您也需要按照这些要求来准备和提交申请。
总结
- 对于父亲的死亡证明，如果已有正式记录，应联系医院或殡仪馆；如果无正式记录，应联系户籍所在地的派出所或相关民政部门。
- 对于您与父亲之间的亲属关系证明，应联系户籍所在地的派出所或公安局户政室进行办理。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您在办理过程中遇到任何问题或需要进一步的帮助，请随时联系我。