针对您提出的“学生延迟上学，监护人应跟哪个部门申请”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
学生因身体状况或其他特殊原因需要延迟上学（即延缓入学或休学）时，其父母或其他法定监护人需要按照相关规定向有关部门提出申请。具体申请部门和流程可能因地区而异，但一般来说，可以遵循以下步骤：
一、确定申请部门
当地乡镇人民政府或县级人民政府教育行政部门：
- 根据《中华人民共和国义务教育法》的相关规定，适龄儿童、少年因身体状况需要延缓入学或者休学的，其父母或者其他法定监护人应当提出申请，由当地乡镇人民政府或者县级人民政府教育行政部门批准。
所在片区学校：
- 在某些地区，可能需要先向所在片区学校提交申请，由学校审核后报上级教育行政部门批准。例如，玛纳斯县的流程中就提到了将申请和证明材料提交所在片区学校审核。
二、准备申请材料
无论向哪个部门申请，通常都需要准备以下材料：
书面申请：
- 由学生父母或其他法定监护人撰写的书面申请，说明延迟上学的原因、期限等。
相关证明材料：
- 因病延迟上学的，需附县级及以上医院近期的诊断证明、病历等。
- 因其他特殊原因延迟上学的，需提供相关证明材料，如家庭变故证明等。
三、提交申请并等待审核
提交申请：
- 将准备好的书面申请和相关证明材料提交给确定的申请部门（如当地乡镇人民政府、县级人民政府教育行政部门或所在片区学校）。
等待审核：
- 申请部门会对提交的材料进行审核，必要时可能会要求补充材料或进行面谈。
- 审核通过后，申请部门会出具批准文件或通知，告知监护人延迟上学的具体期限和相关要求。
四、注意事项
了解当地政策：
- 不同地区可能有不同的具体规定和流程，建议监护人在申请前先了解当地的相关政策。
及时沟通：
- 在申请过程中，监护人应与申请部门保持及时沟通，确保申请材料的完整性和准确性。
关注时间节点：
- 注意申请的时间节点，避免错过申请期限或影响学生的正常入学。
举例来说，如果您所在的地区是北京市西城区，那么您可以按照西城区广安门内街道办事处的相关流程进行申请；如果您所在的地区是玛纳斯县，那么您可以参考玛纳斯县发布的延缓入学或休学审批流程公告进行申请。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。