结论：律师费的支付责任通常取决于原告与被告之间的约定或法院的判决，若双方无特别约定且法院未判决，则一般由原告自行承担。但具体责任分配可能因案件情况、律师服务内容及双方协商结果而有所不同。
一、律师费支付的一般原则
在离婚纠纷中，律师费的支付责任通常遵循以下原则：
约定优先：如果原告与被告在起诉前或起诉过程中就律师费的支付达成了明确约定，那么应按照约定来执行。这种约定可以是书面的，也可以是口头的，但为了确保权益，建议采用书面形式。
法院判决：如果双方没有就律师费的支付达成约定，或者约定不明确，那么法院可能会根据案件的具体情况，如双方的经济状况、案件的复杂程度等，来判决律师费的支付责任。在离婚纠纷中，法院通常不会直接判决被告承担原告的律师费，除非有特殊情况，如被告存在过错且该过错与律师费的产生有直接关系。
自行承担：在大多数情况下，如果没有特别约定或法院判决，原告需要自行承担其聘请律师的费用。这是因为律师服务是原告为了维护自己的权益而选择的，属于原告的个人支出。
二、调解结案对律师费支付的影响
在您提到的情况下，如果案件通过网上起诉后很快进入调解程序并结案，这可能会对律师费的支付产生一定影响。具体来说：
服务内容减少：由于调解结案通常意味着案件没有进入全面的诉讼程序，律师可能没有提供完整的诉讼服务，如庭审准备、出庭辩论等。因此，原告可能会与律师协商减少律师费。
协商调整：在这种情况下，原告可以与律师进行协商，根据律师实际提供的服务内容和时间来调整律师费。如果律师同意，那么可以按照协商后的金额来支付。
三、建议与注意事项
明确约定：在聘请律师前，原告应与律师就律师费的支付方式、金额和支付时间等事项进行明确约定，并签订书面合同。这样可以避免后续产生纠纷。
保留证据：原告应保留好与律师的沟通记录、合同、发票等证据，以备不时之需。这些证据在后续协商或诉讼中可能起到关键作用。
及时沟通：如果在案件处理过程中出现任何问题或变更，原告应及时与律师进行沟通，确保双方对律师费的支付有清晰的认识和共识。
法律咨询：如果您对律师费的支付有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。