在保证期间内，如果遇到起诉期限的最后一日是休息日（包括周末或法定休假日）的情况，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，处理方式如下：

首先，要明确的是，上诉期（在此类比为起诉期限的考虑，虽然严格意义上起诉期限与上诉期在法律程序上有所不同，但关于期限计算的原则可参考）是包含了周末以及法定休假日的。这意味着，如果起诉期限的最后一日恰好是休息日，并不会因此而延长或缩短起诉期限本身，但需要考虑的是期限届满日期的确定。

关键在于，如果起诉期限的最后一日是法定休假日，那么以法定休假日后的第一日为期间届满的日期。这是为了保障当事人的诉讼权利，避免因休息日而无法及时行使诉讼权利的情况发生。

举个例子来说，如果起诉期限的最后一日是周六（周末），那么实际上起诉期限会顺延至下周一，即法定休假日后的第一日，作为期间届满的日期。同样，如果最后一日是某个法定休假日，如国庆节、春节等，也会顺延至该休假日后的第一个工作日。

此外，还需要注意的是，根据《中华人民共和国民事诉讼法》第八十五条的规定，期间不包括在途时间。这意味着，如果当事人在起诉期限届满前将起诉材料交邮，且交邮时间在起诉期限内，那么即使材料在途中因各种原因（如邮寄延误）未能在起诉期限内到达法院，也不应视为过期。

综上所述，在保证期间内起诉遇到休息日时，应以法定休假日后的第一日为起诉期限届满的日期，并确保在起诉期限内（包括在途时间）完成起诉材料的提交。这样，就能有效保障当事人的诉讼权利，避免因期限计算问题而导致的诉讼障碍。