结论：注册的企业私自开展教育培训经营活动，并使用无教师资格证的老师进行授课，这一行为是不合法的。
分析：
从企业经营范围角度：
- 企业应当在其注册的经营范围内开展业务活动。如果企业的注册经营范围中并未包含教育培训，那么其私自开展此类活动就构成了超范围经营，这是违反相关法律法规的。
从教师资格角度：
- 根据我国相关法律法规，从事教育教学工作的人员必须具备相应的教师资格。无教师资格证的人员不得从事教育教学活动，这是为了保障教育教学质量，保护学生的合法权益。
- 如果企业使用无教师资格证的老师进行授课，不仅违反了教师资格的相关规定，也可能对学生的教育质量产生负面影响。
从法律责任角度：
- 对于超范围经营的行为，相关部门有权对企业进行处罚，包括但不限于罚款、责令停业整顿等。
- 对于使用无教师资格证的老师进行授课的行为，企业也可能面临相应的法律责任，如被责令改正、罚款等。同时，如果因此造成学生损害的，企业还可能需要承担民事赔偿责任。
建议：
- 企业应当严格遵守其注册的经营范围，不得私自开展未经批准的业务活动。
- 如果企业确实需要开展教育培训业务，应当先向相关部门申请变更经营范围，并确保所有授课老师都具备相应的教师资格。
- 企业应当加强内部管理，确保所有业务活动都符合相关法律法规的要求，避免因违法行为而面临法律责任。
后续行动：
- 如果您是企业负责人或相关管理人员，发现企业存在上述违法行为，应当立即停止相关活动，并采取措施进行整改。
- 如果您需要进一步的法律帮助或咨询，可以直接向我提问，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。