在以下几种法定情形下，员工被辞退时公司无需补发工资或支付经济补偿：

1. 试用期内被证明不符合录用条件：

   • 公司在试用期内有权对员工进行考核，若员工无法证明其符合录用条件，公司可以解除劳动关系，且无需支付经济补偿或工资额外补贴。但公司需明确录用条件，并留存相关考核证据，以确保辞退行为的合法性。

2. 严重违反公司规章制度：

   • 若员工存在严重违反公司内部规章制度的行为，如旷工、偷窃、打架斗殴等，公司有权以此为由解雇员工，且无需支付经济补偿。但公司的规章制度需经民主程序制定，并公示或告知员工，以确保其合法性和有效性。

3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：

   • 员工若因严重失职或营私舞弊行为给公司造成重大损失，如泄露商业秘密、贪污受贿等，公司可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。此时，公司需有明确的损害事实及相关证据，以支持其辞退决定。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或拒不改正：

   • 若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本单位工作任务造成严重影响，或者经公司提出后拒不改正的，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

5. 以欺诈、胁迫的手段或乘人之危，使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效：

   • 员工若以欺诈、胁迫的手段或乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致合同无效的，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 若员工被依法追究刑事责任，如因犯罪被判处刑罚的，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

法律背景与建议：

• 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者有上述情形之一的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。这是公司辞退员工无需补发工资或支付经济补偿的法律依据。
• 对于公司而言，在辞退员工时需确保辞退行为的合法性和合理性，避免因违法辞退而引发劳动争议和法律风险。建议公司在辞退员工前进行充分的调查和取证工作，并咨询专业律师的意见以确保辞退行为的合法性。
• 对于员工而言，若认为公司的辞退行为违法或不合理，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼以维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

• 若公司违法辞退员工且未支付经济补偿的，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，并可能要求公司补发工资和加班费等。
• 若员工因违法辞退而遭受其他损失的，如精神损害等，还可以依法要求公司承担相应的赔偿责任。

希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。