针对您提出的“如何理解民事调解书确定了一方不履行调解协议应承担的民事责任，且不履行该协议”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细阐述：
一、民事调解书中的民事责任性质
首先，需要明确的是，民事调解书中确定的“一方不履行调解协议应承担的民事责任”，通常指的是一种加重责任。这种责任并非调解协议本身约定的给付内容，而是当一方未履行协议之债务时，应承担的额外民事责任。这种责任体现了对义务人违反诺言的制裁，具有明显的惩罚性。
二、迟延履行责任与加重责任的竞合
在民事调解书执行过程中，存在迟延履行责任与调解协议中约定的加重责任的竞合问题。迟延履行责任是指被执行人未按法律文书指定的期间履行义务时，应承担的法律责任，它具有弥补权利人损失和对义务人惩罚的双重功能。而调解协议中的加重责任，如前所述，是对未履行协议之债务的额外制裁。
根据相关法律规定，迟延履行责任与加重责任是竞合关系，当事人只能选择其中一种行使，不得同时行使两种权利。这意味着，如果民事调解书已经明确被执行人不履行调解协议应承担的责任，且被执行人已经履行完毕前述责任，则无需再承担迟延履行责任。
三、执行程序中的处理原则
在执行程序中，如果被执行人未履行完毕调解协议中约定的民事责任，申请执行人可以在迟延履行责任和民事责任中择一要求执行。但需要注意的是，执行程序是审判程序的后位程序，它只调整人民法院和执行当事人及执行参加人之间的程序权利义务关系，对执行依据所确定的实体权利义务关系没有更改权。
因此，当事人在履行民事调解书的过程中对是否存在违约产生争议时，执行机构不应直接审查认定。这种争议涉及到对新形成的权利义务关系的认定，超出了执行依据的范围。正确的做法是通过诉讼等方式进行实体审查，以确定违约事实和责任承担。
四、实践中的操作建议
明确调解协议内容：在签订调解协议时，应明确约定一方不履行协议时应承担的民事责任，包括责任类型、承担方式等，以避免后续争议。
及时履行义务：被执行人应严格按照调解协议约定的期限和方式履行义务，以避免承担迟延履行责任或加重责任。
合理选择救济途径：当发生违约情况时，申请执行人应根据实际情况合理选择救济途径，如要求被执行人承担调解协议中约定的民事责任或迟延履行责任。
尊重意思自治原则：在调解协议和执行过程中，应尊重当事人的意思自治原则，优先适用调解协议约定的民事责任。
综上所述，民事调解书确定的一方不履行调解协议应承担的民事责任是一种加重责任，与迟延履行责任存在竞合关系。在执行过程中，应明确处理原则，尊重当事人的意思自治，并通过合理途径解决争议。