驾驶员开私家车接送孩子本身不构成违法，无需处罚，但若存在以下情形，则可能面临相应处罚：

1. 超员载客：

   • 若私家车核定载客人数为5人，但实际载客超过核定人数（例如载了6人或更多，包括驾驶员和孩子），则构成超员违法行为。
   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，超员载客将面临罚款、扣分等处罚。具体罚款金额和扣分数量根据超员比例和情节严重程度而定。

2. 非法营运：

   • 若驾驶员以营利为目的，利用私家车接送孩子并收取费用，且未取得道路运输经营许可，则构成非法营运。
   • 非法营运将面临较严厉的处罚，包括罚款、没收违法所得，甚至可能被吊销驾驶证或追究刑事责任。

3. 违反交通规则：

   • 若驾驶员在接送孩子过程中违反交通规则，如闯红灯、逆行、不按规定车道行驶等，将面临相应的交通违法处罚。
   • 处罚措施包括罚款、扣分，严重者可能面临暂扣或吊销驾驶证。

建议：

• 驾驶员在接送孩子时，应确保车辆不超员，遵守交通规则，不进行非法营运活动。
• 若需经常接送孩子且车辆空间有限，可考虑使用合法合规的交通工具或选择公共交通方式。
• 如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询。