学校的工程合同总务主任不能在没有授权的情况下签字。具体分析如下：

一. 签字权限的法律规定

1. 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人订立合同，应当具有相应的民事行为能力，并且意思表示真实。学校的总务主任作为学校的管理人员，其职责范围通常不涉及对外签订工程合同，除非得到学校的明确授权。
2. 《中华人民共和国合同法》第三十二条规定：“当事人采用合同书形式订立合同的，自双方当事人签字或者盖章时合同成立。”这意味着，签字或盖章是合同成立的重要条件，但签字人必须具有合法的授权。

二. 总务主任的签字效力

1. 若总务主任未经授权而擅自签字，该签字行为可能被视为无效，因为他不具备代表学校签订合同的法律权限。
2. 在这种情况下，如果合同发生纠纷，学校可能会以总务主任无权签字为由，主张合同无效或拒绝承担合同责任。

三. 实际操作建议

1. 我建议，在签订工程合同之前，学校应明确授权给具有相应权限的人员，如校长或负责基建的副校长，以确保合同的合法性和有效性。
2. 如果总务主任确实需要参与合同签订过程，应事先获得学校的书面授权，明确其签字权限和范围。

综上所述，学校的总务主任在没有授权的情况下不能签订工程合同。为确保合同的合法性和学校的权益，建议学校在签订合同时严格遵守相关法律规定，并明确授权给具有相应权限的人员。如有进一步需要，您可以继续咨询我。