结论是：如果女方在离婚冷静期内签下的条约（即协议）中明确约定了每个月给男方一定金额的钱，且该协议合法有效，那么当女方不履行时，男方确实有权起诉要求女方履行支付义务。
一、协议的法律效力
首先，我们需要明确的是，女方在离婚冷静期内签下的关于支付男方一定金额的条约（协议），如果其内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，且是双方真实意思的表示，那么该协议就是合法有效的。合法有效的协议对双方都具有法律约束力，双方都应当按照协议的约定履行自己的义务。
二、不履行协议的法律后果
如果女方不按照协议的约定每个月给男方支付约定的金额，那么这就构成了违约。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。因此，在这种情况下，男方有权向法院提起诉讼，要求女方履行支付义务，并可能要求女方承担因违约而造成的损失。
三、起诉的流程和注意事项
收集证据：男方在起诉前需要收集好相关证据，如协议文本、支付记录（如果有的话）、沟通记录等，以证明女方确实没有按照协议的约定履行支付义务。
撰写起诉状：男方需要撰写一份起诉状，明确自己的诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据。
提交法院：将起诉状和相关证据提交给有管辖权的法院，并缴纳诉讼费。
参与诉讼：在诉讼过程中，男方需要积极参与，按照法院的要求出庭、举证、质证等。
执行判决：如果法院判决女方需要履行支付义务，但女方仍然不履行，那么男方可以申请法院强制执行。
四、特殊情况考虑
当然，也存在一些特殊情况可能影响男方的起诉权利。例如，如果协议存在无效或可撤销的情形（如一方以欺诈、胁迫的手段订立协议，损害国家利益；协议内容违反法律、行政法规的强制性规定等），那么男方可能无法直接依据协议起诉。此外，如果双方在协议履行过程中发生了新的情况或争议，也可能需要先通过协商、调解等方式解决，再考虑是否起诉。
建议：如果您或男方在离婚过程中遇到了类似的问题，建议及时咨询专业律师（即我，雷俊律师），以便更好地维护自己的合法权益。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。