结论：自书遗嘱中已经指定了继承人，是否还需要其他法定继承人的死亡证明，这主要取决于遗嘱的内容以及相关法定继承人的生存状况。
分析：
遗嘱内容明确且无遗漏：
- 如果自书遗嘱中已经明确规定了遗产的分配，且所有财产均已合理分配给指定的继承人，没有遗漏给其他法定继承人（如祖父祖母等），那么在这种情况下，通常不需要提供其他法定继承人的死亡证明。因为遗嘱已经按照被继承人的意愿进行了财产分配，无需再考虑其他法定继承人的权益。
遗嘱内容存在潜在争议或遗漏：
- 如果遗嘱内容存在模糊之处，或者可能遗漏了某些法定继承人的权益，那么在处理遗产时，可能需要提供其他法定继承人的死亡证明。这是为了证明这些法定继承人已经不在世，从而避免遗产分配过程中的争议和纠纷。例如，如果遗嘱中没有明确提及某个法定继承人的份额，而该法定继承人已经去世，那么提供其死亡证明可以有助于确认遗产的分配方式。
法定继承人仍在世：
- 如果其他法定继承人仍在世，且遗嘱中没有明确排除他们的继承权，那么在处理遗产时，必须考虑他们的权益。在这种情况下，即使遗嘱已经指定了继承人，也可能需要与其他法定继承人进行协商或处理相关手续，而无需特别提供死亡证明（因为他们还活着）。但若遗嘱明确排除了他们的继承权，并且这一排除是合法有效的，那么他们的生存状况就不会影响遗嘱的执行。
法律建议：
- 在订立自书遗嘱时，建议被继承人尽可能明确、具体地规定遗产的分配方式，以避免后续的争议和纠纷。
- 如果遗嘱内容存在模糊或遗漏之处，建议及时咨询专业律师进行修订和完善。
- 在处理遗产时，如果涉及其他法定继承人的权益，建议根据实际情况提供相应的证明文件（如死亡证明等），以确保遗产分配的合法性和有效性。
可能的法律后果：
- 如果遗嘱内容不明确或存在遗漏，可能会导致遗产分配过程中的争议和纠纷，甚至可能引发法律诉讼。
- 如果未能提供必要的证明文件（如死亡证明等），可能会影响遗产分配的顺利进行，甚至可能导致遗产分配无效。
因此，在处理涉及自书遗嘱和法定继承人权益的问题时，建议谨慎行事，并咨询专业律师的意见。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。