抗诉申请书中的申请人与被申请人之间因为什么、经过什么应该怎么写，核心在于清晰阐述双方争议的焦点及事实经过。以下是从不同角度给出的详细解答：

一、明确争议焦点

在抗诉申请书中，首先要明确申请人与被申请人之间的争议焦点。这通常涉及对某一法律事实或法律关系的不同理解或认定。例如，在合同纠纷中，争议焦点可能是合同是否有效、是否履行、是否存在违约行为等；在行政纠纷中，争议焦点可能是行政行为的合法性、合理性等。

写法示例： “申请人认为，被申请人在XX合同中的行为已构成违约，具体表现为未按约定时间交付货物，且货物质量不符合合同约定。而被申请人则主张其已按约定履行合同义务，不存在违约行为。”

二、详细叙述事实经过

在明确争议焦点后，需要详细叙述事实经过，包括时间、地点、人物、行为等要素。事实经过的叙述应当客观、准确，避免主观臆断或夸大其词。

写法要点：

1. 时间顺序：按照事件发生的时间顺序进行叙述，有助于理清事实脉络。
2. 具体细节：提供具体的时间、地点、人物、行为等细节，增强事实的可信度。
3. 证据支持：如有相关证据（如合同、邮件、聊天记录等），可在叙述事实时提及，并在后续部分提供证据清单。

写法示例： “XX年XX月XX日，申请人与被申请人签订XX合同，约定被申请人应在XX年XX月XX日前交付货物。然而，直至XX年XX月XX日，被申请人仍未交付货物。申请人多次催告无果后，于XX年XX月XX日向被申请人发出书面通知，要求其履行合同义务。但被申请人至今仍未履行。”

三、结合法律条款进行分析

在叙述事实经过后，需要结合相关法律条款进行分析，说明申请人的抗诉理由及法律依据。这有助于增强抗诉申请书的法律说服力。

写法要点：

1. 引用法律条款：准确引用相关法律条款，说明申请人的抗诉理由符合法律规定。
2. 法律解释：对引用的法律条款进行解释，说明其含义及适用范围。
3. 逻辑推理：运用逻辑推理，说明申请人的抗诉理由与法律条款之间的关联性。

写法示例： “根据《中华人民共和国XX法》第XX条规定：‘当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。’在本案中，被申请人未按约定时间交付货物，且货物质量不符合合同约定，已构成违约。因此，申请人有权要求被申请人承担违约责任。”

四、注意事项

1. 客观公正：在叙述事实及分析法律时，应保持客观公正的态度，避免主观臆断或情绪化表达。
2. 条理清晰：抗诉申请书应条理清晰，层次分明，便于阅读者理解。
3. 证据充分：如有相关证据支持抗诉理由，应在申请书中提及，并在后续部分提供完整的证据清单。

总结：抗诉申请书中的申请人与被申请人之间因为什么、经过什么应该围绕争议焦点展开，详细叙述事实经过，并结合相关法律条款进行分析。在撰写过程中，应注意客观公正、条理清晰、证据充分等要点。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。