如公共财产在私人的土地上被破坏，应首先确定破坏者和土地所有者的责任，并依据相关法律规定进行索赔。以下是对此问题的详细分析：

一. 确定责任主体

1. 破坏者的责任：根据《民法典》的相关规定，破坏者因其行为造成公共财产损失的，应承担赔偿责任。这是基于侵权行为的法律责任原则，即“谁侵权，谁赔偿”。

2. 土地所有者的责任：虽然土地是私人的，但如果土地所有者对公共财产在其土地上的存在知情，且未采取必要措施防止破坏，或因其管理不善导致破坏发生的，土地所有者也可能需承担一定的责任。

二. 索赔途径

1. 与破坏者协商：首先，可以尝试与破坏者进行协商，要求其承担损失赔偿责任。如果双方能达成协议，这是最快速且成本最低的解决方式。

2. 法律诉讼：如果协商无果，或破坏者拒绝承担责任，公共财产的管理者或所有者可以向人民法院提起诉讼，要求破坏者赔偿损失。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明破坏者的行为以及造成的损失。

3. 涉及土地所有者的责任：如果土地所有者也被认为有责任，那么公共财产的管理者或所有者可以将其列为共同被告，要求其承担相应的赔偿责任。

三. 法律依据

• 《民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任”。
• 《民法典》第一千一百六十八条：“二人以上共同实施侵权行为，造成他人损害的，应当承担连带责任”。

我建议，在发现公共财产在私人土地上被破坏后，应尽快收集证据，确定责任主体，并尝试通过协商或法律途径进行索赔。如有进一步需要，您可以继续咨询我。