可以起诉。离婚后发现对方在婚姻存续期间与第三者育有子女，这通常表明对方存在婚姻过错，您可以根据具体情况选择合适的法律途径来维护自己的权益。以下是从不同角度为您进行的分析：

一、民事法律责任

1. 请求再次分割夫妻共同财产

   • 根据相关法律规定，在离婚后一年内，如果您发现对方在婚姻存续期间有隐藏、转移、变卖、毁损夫妻共同财产，或伪造债务企图侵占另一方财产的行为，您可以向法院提起诉讼，请求再次分割夫妻共同财产。虽然直接的法律条文未明确提及“与第三者育有子女”作为再次分割财产的直接理由，但这一行为往往与隐藏、转移财产等过错行为相关联，可作为证明对方存在过错的间接证据。
   • 实际操作：您需要收集对方与第三者育有子女的相关证据，如孩子的出生证明、对方与第三者的往来通信、共同生活的照片或视频等，以及可能涉及的财产转移证据，如银行转账记录、房产过户记录等。

2. 主张损害赔偿

   • 如果对方的行为（如与第三者同居并育有子女）导致了您的精神损害，您可以在离婚诉讼中或离婚后一年内，依据《民法典》中关于离婚损害赔偿的规定，要求对方给予物质和精神损害赔偿。
   • 赔偿范围：包括因对方出轨导致的家庭财产不当转移、挥霍等产生的物质损失，以及因此遭受的精神痛苦。

3. 非婚生子女的抚养责任

   • 虽然非婚生子女享有与婚生子女同等的法律地位和权利，但对方作为孩子的生物学父亲，有法律义务承担抚养费用直至孩子成年。您可以在起诉时，要求对方承担相应的抚养责任。
   • 实际操作：您需要提供孩子的出生证明、对方与孩子的亲子关系证明等证据，以证明对方应承担抚养责任。

二、刑事法律责任（如构成重婚罪）

• 如果对方与第三者以夫妻名义共同生活，且周围群众也认为他们是夫妻关系，或者他们办理了结婚登记（尽管这种情况较少），则可能构成重婚罪。
• 重婚罪的认定：关键在于是否存在以夫妻名义共同生活的事实。仅有私生子并不足以直接认定重婚，还需综合其他证据，如共同生活的照片、视频、证人证言等。
• 法律后果：一旦构成重婚罪，可处二年以下有期徒刑或者拘役。您可以向公安机关报案，由公安机关侦查后移送检察院审查起诉，或者直接向法院提起刑事自诉。

三、实际操作建议

1. 收集证据：这是起诉的关键。您需要收集对方与第三者育有子女的相关证据，以及可能涉及的财产转移、重婚等行为的证据。
2. 明确诉求：在起诉时，您需要明确自己的诉求，如请求再次分割夫妻共同财产、主张损害赔偿、要求对方承担抚养责任等。
3. 遵循法律程序：按时提交诉讼材料和证据，遵循法院的审理程序。

四、注意事项

• 起诉时效：请注意，请求再次分割夫妻共同财产和主张损害赔偿的起诉时效通常为一年（自您发现对方过错之日起计算），因此请及时行使您的权利。
• 证据充分性：起诉时需有充分的证据证明对方存在过错及相关事实，否则可能无法得到法院的支持。

总结：离婚后发现对方在婚姻存续期间与第三者育有子女，您可以根据具体情况选择合适的法律途径来维护自己的权益。在民事方面，您可以请求再次分割夫妻共同财产、主张损害赔偿、要求对方承担抚养责任；在刑事方面，如果对方的行为构成重婚罪，您可以依法追究其刑事责任。在操作过程中，请务必收集充分的证据，并遵循法律程序。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。