针对家装工程完工后业主拖欠部分工程款的问题，你可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
协商解决：
- 首先，尝试与业主进行友好协商，明确表达你的诉求，即要求业主按照合同约定支付拖欠的工程款。
- 在协商过程中，可以提出合理的支付计划或分期付款方案，以减轻业主的支付压力，同时也保障你的权益。
发送催款函：
- 如果协商无果，你可以向业主发送正式的催款函，明确欠款金额、支付期限以及逾期支付的后果。
- 催款函应具有法律效力，通常需要由律师起草或审核，以确保其内容的合法性和有效性。
申请仲裁：
- 如果业主仍然拒不支付工程款，你可以根据合同中的仲裁条款，向本市仲裁委员会提起仲裁申请。
- 仲裁是一种快速、有效的解决纠纷的方式，仲裁结果具有法律约束力，业主必须履行。
提起诉讼：
- 如果仲裁未能解决问题，或者合同中没有仲裁条款，你可以直接向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，你需要提供充分的证据证明业主拖欠工程款的事实，以及你按照合同约定完成了家装工程。
- 法院将根据事实和法律规定作出判决，要求业主支付拖欠的工程款。
申请强制执行：
- 如果业主在判决生效后仍然拒不支付工程款，你可以向法院申请强制执行。
- 法院将采取一系列措施，如冻结业主的银行账户、扣押其财产等，以确保你的权益得到实现。
在处理此类纠纷时，你还需要注意以下几点：
- 诉讼时效：工程款追索的诉讼时效通常为三年，从你知道或者应当知道权利被侵害时起计算。因此，你需要及时采取行动，以免丧失胜诉权。
- 证据收集：在协商、仲裁或诉讼过程中，你需要提供充分的证据证明业主拖欠工程款的事实。这些证据可以包括合同、工程进度报告、验收报告、催款记录等。
- 法律适用：家装工程属于建设工程范畴，可以适用《中华人民共和国民法典》中关于建设工程合同的规定。特别是关于优先受偿权的规定，即发包人未按照约定支付价款的，承包人可以催告发包人在合理期限内支付价款；发包人逾期不支付的，承包人可以与发包人协议将该工程折价，也可以申请人民法院将该工程依法拍卖，建设工程的价款就该工程折价或者拍卖的价款优先受偿。
最后，我建议你：在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，遵循法律程序，不要采取过激行为。如果你对法律程序不熟悉或者感到困惑，可以随时向我咨询，我将为你提供专业的法律建议和帮助。