关于孩子违背父亲意愿后，父亲拒绝支付相关费用的法律后果，需分情况讨论：
若涉及抚养费支付：
- 法律义务：根据《民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这种义务不因子女是否违背父亲意愿而免除。即使孩子做出了违背父亲意愿的行为，父亲仍需承担抚养费支付责任。
- 拒绝支付的后果：如果父亲拒绝支付抚养费，子女或其法定代理人（如母亲）有权向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务。法院在查明事实后，会判决父亲支付拖欠的抚养费，并可能要求其按期支付未来的抚养费。若父亲仍不履行，法院可采取强制执行措施，如冻结银行账户、查封财产等。
若涉及教育、医疗等额外费用：
- 协商与诉讼：对于教育、医疗等超出基本抚养范围的额外费用，父母双方应协商确定分担方式。如果孩子违背父亲意愿的行为导致这些额外费用的产生，且父亲认为不应由其承担，双方应首先通过协商解决。协商不成的，可向法院提起诉讼，由法院根据具体情况判决费用的分担比例。
- 拒绝支付的合理性：在此情况下，父亲拒绝支付可能具有一定的合理性，但需以法院判决为准。如果法院认为父亲应承担部分或全部费用，而父亲仍拒绝支付，则可能面临与上述抚养费相同的法律后果。
若涉及赠与或财产处分：
- 赠与合同的效力：如果父亲曾承诺给予孩子某些财产或资金，并签订了赠与合同，那么孩子违背父亲意愿的行为通常不影响赠与合同的效力。除非赠与合同中明确约定了某些条件（如孩子需遵守特定行为准则），且孩子未满足这些条件，否则父亲无权单方面撤销赠与。
- 拒绝支付的后果：如果父亲无正当理由拒绝履行赠与合同，孩子有权向法院提起诉讼，要求父亲继续履行合同或赔偿损失。
建议与注意事项：
- 沟通协商：在发生争议时，双方应首先尝试通过沟通协商解决问题，以维护家庭关系的和谐。
- 保留证据：无论涉及哪种费用，双方都应保留相关证据（如转账记录、收据、医疗证明等），以便在需要时向法院提供。
- 寻求法律援助：如果争议无法通过协商解决，建议及时寻求法律援助或咨询专业律师，以了解自身权利和义务，并制定合适的诉讼策略。
总结：孩子违背父亲意愿并不构成父亲拒绝支付相关费用的合法理由。在涉及抚养费、教育医疗等额外费用或赠与合同的情况下，父亲应依法履行自己的义务。如有争议，建议通过法律途径解决。如果有任何法律问题，都可以直接向我咨询。