罪犯在生病被居家监视期间，是不能随便离开当地的。以下从法律角度进行详细分析：
一、法律对居家监视居住的规定
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，被监视居住的犯罪嫌疑人、被告人应当遵守以下规定，其中就包括未经执行机关批准不得离开执行监视居住的处所。这意味着，罪犯在居家监视居住期间，其行动自由是受到严格限制的，必须遵守执行机关的规定，不得擅自离开指定的居住地点。
二、生病并非离开当地的合法理由
虽然罪犯可能因生病需要就医，但这并不构成其可以擅自离开当地的合法理由。如果罪犯确实需要就医，应当及时向执行机关报告，并按照执行机关的指示和要求进行。执行机关会根据具体情况，决定是否批准罪犯外出就医，并会采取相应的监管措施，以确保罪犯不会逃避法律制裁。
三、擅自离开当地的法律后果
如果罪犯擅自离开当地，将可能面临严重的法律后果。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，被监视居住的犯罪嫌疑人、被告人违反规定，情节严重的，可以予以逮捕；需要予以逮捕的，可以对犯罪嫌疑人、被告人先行拘留。这意味着，罪犯如果擅自离开当地，不仅可能失去居家监视居住的资格，还可能被立即逮捕或拘留。
四、建议与提醒
总结来说，罪犯在生病被居家监视期间，是不能随便离开当地的。如果确实需要就医或有其他特殊情况，应当及时向执行机关报告，并按照执行机关的指示和要求进行。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。