在处理买卖房屋未签合同所引发的纠纷时，我们首先要明确的是，即使没有签订书面合同，房屋买卖关系在特定条件下仍有可能被法律认可。针对此类纠纷，您可以按照以下步骤来处理：

一、协商解决

1. 友好沟通：买卖双方应首先尝试就争议事项进行友好协商，明确各自的权利和义务。这包括但不限于房屋价格、付款方式、交房时间等关键条款。
2. 形成书面协议：若协商达成一致，建议双方将协商结果形成书面协议，并签字确认。这样，即使未来出现争议，也有明确的依据可供参考。

二、寻求调解

1. 选择调解机构：若协商无果，您可以向相关调解机构申请调解。这些机构可能包括社区调解委员会、房地产行业协会等。
2. 依据法律法规调解：调解机构会依据相关法律法规和实际情况，促使双方达成和解协议。调解过程通常较为灵活，且成本相对较低。

三、通过诉讼解决

1. 准备证据：若协商和调解都无法解决问题，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供相关证据来证明双方存在事实上的房屋买卖关系及各自的诉求。这些证据可能包括房屋交付凭证、付款记录、双方关于买卖房屋的沟通记录等。
2. 法院判决：法院会根据法律规定和证据情况作出公正判决。如果法院认定房屋买卖关系成立，且一方存在过错，那么过错方可能需要承担相应的赔偿责任。

四、注意事项

1. 保留证据：在整个过程中，您应积极收集和保留相关证据。这些证据不仅有助于您在协商和调解中争取更有利的地位，也是诉讼中证明您主张的关键。
2. 选择合适的解决方式：根据纠纷的具体情况和您的需求，选择合适的解决方式。协商和调解通常更为灵活和高效，而诉讼则可能更为正式和耗时。
3. 了解法律风险：在处理此类纠纷时，您还应了解相关的法律风险。例如，如果双方存在恶意串通、逃避税收等违法行为，那么即使没有签订书面合同，也可能面临法律制裁。

五、案例分析

以小何与小李的纠纷为例，虽然双方未签订书面合同，但小何支付了部分房款，这足以证明双方有买卖房屋的合意及履行行为。根据《民法典》的规定，法院一般会认定合同成立。在确定责任时，需依据双方过错程度划分。若小李故意隐瞒房屋重要瑕疵等有过错行为，应承担相应赔偿责任。

综上所述，处理买卖房屋未签合同所引发的纠纷时，您应首先尝试协商解决，若协商无果则寻求调解或通过诉讼解决。在整个过程中，保留证据、选择合适的解决方式并了解法律风险至关重要。