结论：在证明了母子关系的情况下，母亲是否需要为儿子还债，取决于债务的性质、儿子的年龄及民事行为能力，以及是否存在法定或约定的代为偿还情形。

一、债务性质与儿子年龄及民事行为能力的影响

1. 儿子为完全民事行为能力人：

   • 如果儿子是成年人且具有完全民事行为能力，那么他应当自行承担其债务。母亲作为其法定监护人（在儿子未成年时）的义务已经终止，无需为儿子的债务承担责任。
   • 例如，儿子因个人消费或投资产生的债务，母亲无需代为偿还。

2. 儿子为限制民事行为能力人或无民事行为能力人：

   • 如果儿子是未成年人或因精神疾病等原因被认定为限制民事行为能力人或无民事行为能力人，那么母亲作为其法定监护人，可能需要承担一定的监护责任。
   • 但这种责任通常限于对儿子财产的管理和保护，而非直接代为偿还债务。除非债务是因母亲未尽到监护职责而导致儿子产生的（如儿子因母亲疏忽而受伤产生的医疗费用），否则母亲无需为儿子的债务买单。

二、法定或约定的代为偿还情形

1. 法定代为偿还：

   • 在某些特定情况下，法律可能规定母亲需要代为偿还儿子的债务。例如，如果儿子因违法行为（如盗窃、诈骗）而产生的债务，且母亲作为监护人未尽到监护职责，导致儿子走上违法道路，那么母亲可能需要在一定范围内承担赔偿责任。但这种情况较为罕见，且需要具体案件具体分析。

2. 约定代为偿还：

   • 如果母亲与债权人之间存在约定，同意代为偿还儿子的债务，那么母亲就需要按照约定履行还款义务。但这种约定必须是合法、有效的，且不得违反法律、行政法规的强制性规定。

三、实际操作中的建议

• 核实债务性质：首先，需要核实债务的性质和来源，确定是否属于儿子个人债务。
• 评估儿子民事行为能力：其次，需要评估儿子的年龄和民事行为能力，以确定母亲是否仍需承担监护责任。
• 咨询专业意见：如果涉及复杂的法律问题或债务纠纷，建议母亲咨询专业律师以获取更具体的法律建议。

举例说明：假设儿子因个人消费产生了一笔债务，且儿子已经是成年人并具有完全民事行为能力。在这种情况下，母亲无需为儿子的债务承担责任。但如果儿子是未成年人，且因母亲疏忽而产生了与监护职责相关的债务（如儿子因母亲未看管好而受伤产生的医疗费用），那么母亲可能需要在一定范围内承担赔偿责任。

后续行动建议：如果您或您身边的人遇到了类似的问题，建议首先核实债务的性质和儿子的民事行为能力情况，然后根据实际情况决定是否需要寻求法律帮助。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。