关于再审终结审查的规定，以下是我从法律角度给出的详细解答：
再审终结审查的法定情形：
根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉审判监督程序若干问题的解释》及相关法律规定，再审终结审查的情形主要包括以下几种：
再审申请人撤回再审申请：
- 在审查过程中，如果再审申请人自愿撤回再审申请，法院将裁定终结审查。
再审申请人死亡或终止且无权利义务承继者或承继者放弃权利：
- 如果再审申请人死亡或终止，且没有权利义务承继者或者承继者声明放弃再审申请的，法院也将裁定终结审查。
被申请人或其他相关主体终止且无权利义务承继者：
- 在给付之诉中，如果负有给付义务的被申请人死亡或终止，且无可供执行的财产，也没有应当承担义务的人的，法院将裁定终结审查。
当事人达成和解协议且已履行完毕：
- 当事人达成和解协议且已履行完毕的，但当事人在和解协议中声明不放弃申请再审权利的除外，法院将裁定终结审查。
他人未经授权以当事人名义申请再审：
- 如果他人未经授权以当事人名义申请再审，法院将裁定终结审查。
原审或上一级人民法院已经裁定再审：
- 如果原审或上一级人民法院已经裁定再审，那么当前的再审申请将不再继续审查，法院将裁定终结审查。
其他特殊情形：
- 如人民法院经审查认为再审申请书等材料不符合要求，需要补正但再审申请人无正当理由逾期不予补正等情形，也可能导致再审终结审查。
再审终结审查的程序与效力：
裁定终结审查：
- 法院在确认存在上述法定情形后，将作出裁定终结审查的决定。这一决定具有法律效力，意味着再审程序不再继续推进。
通知当事人：
- 法院在作出终结审查裁定后，应及时通知双方当事人，确保当事人的知情权得到保障。
后续影响：
- 再审终结审查后，原生效裁判文书继续有效，对双方当事人具有约束力。除非有新的证据或理由能够推翻原生效裁判，否则不得再次提出再审申请。
再审终结审查的意义：
提高司法效率：
- 通过明确再审终结审查的情形和程序，可以避免不必要的再审程序启动，从而提高司法效率。
维护司法权威：
- 再审程序的严肃性和权威性要求法院对再审申请进行审慎审查。终结审查制度的实施有助于维护司法的稳定性和权威性。
保护当事人合法权益：
- 通过及时终结不符合条件的再审申请，可以避免当事人陷入无休止的诉讼程序中，从而保护其合法权益不受侵害。
综上所述，再审终结审查是司法程序中对特定情形下的再审申请作出最终处理的一种制度。如果您有关于再审终结审查或其他法律问题的疑问，欢迎直接向我咨询。