针对您提出的问题，即“爸爸去世后，孩子随爷爷奶奶居住，如何与妈妈签订协议”，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，在父亲去世后，孩子的抚养权问题是一个需要慎重考虑和处理的法律问题。如果爷爷奶奶提出要抚养孩子，并且希望与孩子的母亲签订一份协议，那么这份协议的内容必须合法、合理，并且不能损害任何一方的合法权益。

一、协议内容应明确

1. 抚养权的归属：协议中应明确孩子的抚养权归爷爷奶奶所有，同时说明母亲在何种情况下可以行使探视权或其他相关权利。

2. 抚养费用的承担：如果爷爷奶奶承担抚养孩子的费用，协议中可以明确这一点，并说明是否需要母亲提供一定的经济支持（如根据母亲的经济状况而定）。

3. 孩子的教育、医疗等重大事项：协议中应明确在孩子教育、医疗等重大事项上的决策权和费用承担方式。

4. 国家政策的利用：如果爷爷奶奶提到国家有政策可以领取相关补贴或福利，协议中应明确这部分资金的领取方式、使用范围以及是否需要母亲配合等事项。

二、协议签订前的注意事项

1. 了解政策详情：在签订协议前，建议爷爷奶奶和母亲都详细了解国家关于此类情况的政策规定，确保协议内容符合政策要求。

2. 咨询专业律师：由于协议涉及法律问题，建议双方在签订前咨询专业律师，确保协议内容合法、有效，并且不损害任何一方的合法权益。

3. 保持沟通：在协议签订过程中，双方应保持充分的沟通，确保对协议内容有清晰、一致的理解。

三、协议签订后的执行与监督

1. 严格执行协议：协议签订后，双方应严格按照协议内容执行，确保孩子的权益得到保障。

2. 定期沟通与监督：建议双方定期沟通孩子的抚养情况，并在必要时对协议进行适当调整。同时，可以设立一个监督机制，确保协议的执行情况得到监督。

综上所述，与妈妈签订关于孩子抚养权的协议是一个需要慎重考虑和处理的法律问题。在签订协议前，双方应充分了解政策详情、咨询专业律师，并保持充分的沟通。在协议签订后，双方应严格执行协议内容，并定期沟通与监督孩子的抚养情况。希望这些建议能对您有所帮助。