公司在以下特定情况下开除员工不需要支付赔偿金：
试用期不符合录用条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付赔偿金。但前提是用人单位需在招聘时明确具体的录用条件，并向劳动者公示，同时在试用期内对员工进行客观、公正的考核，提供充分证据证明员工不符合录用条件。
严重违反公司规章制度：
- 员工若严重违反用人单位的规章制度，用人单位同样有权解除劳动合同且不赔偿。但规章制度必须合法、合理且已向员工公示，同时用人单位需有充分证据证明员工的违纪行为。
同时与其他用人单位建立劳动关系：
- 若劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，并对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正，用人单位可解除劳动合同且不支付赔偿金。
以欺诈、胁迫手段或乘人之危导致劳动合同无效：
- 劳动者若以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效，用人单位有权辞退且无需赔偿。例如，劳动者伪造学历证书或工作经历等重要信息与用人单位签订劳动合同。
严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害：
- 劳动者在工作中若存在严重失职行为，如因疏忽大意导致重大生产事故，或利用职务之便谋取私利、收取回扣等营私舞弊行为，给用人单位造成重大损害的，用人单位有权解除劳动合同且无需支付赔偿金。这里的“重大损害”需要根据企业的规模、行业特点等因素来综合判断，并且用人单位需要有充分的证据来证明损害的存在和具体程度。
被依法追究刑事责任：
- 劳动者若被依法追究刑事责任，包括被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑）、被人民法院依据刑法相关规定免予刑事处分等情况，用人单位有权解除与其的劳动合同且无需支付赔偿金。
劳动合同期满员工主动不续签：
- 若是劳动合同期满，员工主动提出不再续签，双方互相也不必做任何补偿。这是基于劳动合同自愿原则，尊重双方的选择权。
在上述所有情况下，用人单位必须确保解除劳动合同的程序合法，包括提前通知员工、征求工会意见（如有）、办理离职手续等。若用人单位无法提供充分证据证明员工的违纪行为或不符合录用条件等，解除劳动合同的行为可能会被视为违法，从而需要支付相应的经济补偿金。
因此，公司在开除员工时必须谨慎行事，确保自己的行为符合法律法规的规定，以避免引发不必要的法律纠纷和经济损失。如有任何法律问题，欢迎直接向我咨询。