跨省劳动纠纷的处理确实涉及多个环节和步骤，以下为您提供一个清晰、详细且有深度的解答。

首先，当遇到跨省劳动纠纷时，双方自主协商是首选的解决方式。双方应积极、真诚地进行沟通，尝试就争议问题达成一致。如果协商成功，可以签订和解协议，明确双方的权利和义务，从而避免进一步的纠纷。

如果协商无果，接下来可以选择调解程序。当事人可以向其所在的用人单位所在地的劳动争议调解委员会提出调解申请。调解委员会会指派专业的调解员进行调解，帮助双方找到共同点，促成和解。调解过程中，调解员会充分听取双方的意见和诉求，并依据相关法律法规和政策给出建议。

若调解仍然无法达成一致，或者双方不愿意进行调解，那么可以选择仲裁程序。当事人可以向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请。仲裁委员会会依法进行审理，并作出公正的裁决。在仲裁过程中，双方需要提交相关证据和材料，以支持自己的主张。仲裁裁决具有法律效力，如果一方不履行裁决，另一方可以向法院申请强制执行。

最后，如果当事人对仲裁裁决结果持有异议，他们有权向当地基层人民法院提起诉讼。法院会对案件进行审理，并作出最终判决。法院的判决是有法律效力的，必须履行。如果拒绝履行，法院有权采取很多强制措施，像是冻结银行账户、查封财产等。

另外，值得注意的是，劳动纠纷仲裁时效通常为一年。自权益受损之日起计算，当事人若需提起仲裁申诉，须在一年内完成。如果超出此期限，仲裁机构将不予受理该申诉。因此，在处理跨省劳动纠纷时，务必注意时效问题，以免错过维权的机会。

综上所述，跨省劳动纠纷的处理需要遵循一定的程序和步骤。双方应首先尝试自主协商，如果协商无果，可以选择调解、仲裁和诉讼等方式来维护自己的合法权益。在处理过程中，务必注意时效问题，并保留好相关证据和材料，以支持自己的主张。