持刀伤人案件能否私了，主要取决于伤情的严重程度及是否构成刑事犯罪。
情节显著轻微的情形：
- 若持刀伤人行为仅造成表皮擦伤、淤青等很轻微的伤害，未达到轻伤及以上程度，且未涉及其他严重违法情节，此类情况通常被视为治安案件。
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九条，对于因民间纠纷引起的打架斗殴等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。经公安机关调解，当事人达成协议的，不予处罚。这意味着，在此类轻微情况下，双方可以在公安机关的主持下进行调解，达成和解协议，这在一定程度上可视为“私了”。
构成刑事犯罪的情形：
- 若持刀伤人导致被害人轻伤以上后果，则涉嫌构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制等刑罚；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，将面临十年以上有期徒刑、无期徒刑甚至死刑。
- 一旦构成刑事犯罪，案件便由国家公权力介入进行追诉，双方当事人不能自行决定不追究刑事责任，即不能完全“私了”。但犯罪嫌疑人或被告人如果积极赔偿被害人经济损失并取得谅解，双方达成和解协议，这一情节在量刑时可以作为从轻处罚的依据。
综上所述，对于持刀伤人案件，若伤情轻微且未涉及其他严重违法情节，双方可在公安机关主持下尝试调解解决；但若构成刑事犯罪，则应立即报警并寻求法律援助，以确保自身权益得到保障，并遵守法律法规，不参与任何非法活动。如果你或你身边的人面临此类问题，建议尽快咨询专业律师，以便得到更具体的法律建议和帮助。