当建设工程通过司法鉴定发现存在质量问题时，处理方式主要遵循以下几个步骤：

首先，对于已发现的质量问题，双方应尽快进行沟通并尝试协商解决。在这一阶段，可以共同选定一家具有相应资质的工程质量鉴定单位，对存在分歧或问题的部分进行详细的鉴定。鉴定单位的选择应确保其专业性和公正性，以便为后续的纠纷处理提供准确的依据。

如果双方无法就鉴定单位的选择或鉴定结果达成一致，那么可以通过法律途径来解决争议。这包括申请仲裁或向法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院可以根据职权委托专业的鉴定机构进行工程质量鉴定。此时，鉴定机构的选定和鉴定过程的进行都将受到法律的严格监督，以确保鉴定结果的公正性和准确性。

鉴定意见在工程质量争议中具有重要的地位，它是认定工程质量的关键依据。然而，鉴定意见并非绝对，法院在审理案件时会综合考虑所有相关证据，包括鉴定意见、合同文本、施工记录等，以形成全面的判断。

如果当事人对鉴定意见有异议，且符合法定条件（如鉴定机构或人员不具备相应资格、鉴定程序存在严重瑕疵等），可以申请重新鉴定。重新鉴定的申请应在法定期限内提出，并需经过法院的审查和批准。

在处理工程质量争议期间，为避免损失进一步扩大，建议暂停工程的使用。如果因一方的原因导致损失扩大，那么该方应承担扩大部分损失的责任。

关于工程质量鉴定费用的承担问题，这通常需要根据具体情况来确定。一般来说，如果鉴定结果证明工程质量存在问题，且责任方明确，那么鉴定费用应由责任方承担。如果双方都有责任或责任不清，那么鉴定费用可能需要由双方共同承担。

综上所述，处理建设工程中的质量问题需要综合考虑多个方面，包括协商、鉴定、法律诉讼等。在整个过程中，保持沟通、遵循法律程序、确保公正和准确是解决问题的关键。