在价格行政处罚案件中，当事人申请延期退款的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定。以下是针对该问题的详细解答：

结论前置：当事人因经济困难无法按时缴纳罚款时，可以向作出行政处罚决定的行政机关申请延期缴纳罚款，这一申请需遵循《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定。

法律依据与详细解释：

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国行政处罚法》第六十六条规定：“当事人确有经济困难，需要延期或者分期缴纳罚款的，经当事人申请和行政机关批准，可以暂缓或者分期缴纳。”

2. 详细解释：

   • 申请条件：当事人必须确实存在经济困难，无法按时全额缴纳罚款，这是申请延期缴纳罚款的基本前提。
   • 申请流程：
     • 当事人需要在行政处罚决定书载明的履行期限内提出延期缴纳的申请。
     • 提交延期缴纳罚款申请书，详细写明申请人的基本信息、被处罚的具体事项、申请延期缴纳罚款的具体期限以及合理的申请理由。
     • 根据申请理由提供相应的证明文件，如政府相关部门的受灾证明、医院的诊断证明和医疗费用清单、企业的财务报表和银行资金流水等。
   • 审批程序：行政机关收到申请后，会对申请材料进行审核，并根据审核情况作出决定。如果申请获得批准，行政机关会出具同意延期缴纳罚款的决定书，明确延期的具体期限；若申请未获批准，也会说明不予批准的理由。

注意事项：

• 当事人在申请过程中必须诚实信用，不得提供虚假材料或隐瞒真实情况，否则可能面临更严重的法律责任。
• 延期期限并非无限制，通常基于法律责任的追溯时效进行考量，最长为两年。
• 如果行政机关拒绝了当事人的申请，当事人可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。

综上所述，在价格行政处罚案件中，当事人若因经济困难无法按时缴纳罚款，可以依据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定向行政机关申请延期缴纳罚款。在申请过程中，当事人应确保申请材料的真实性和完整性，并遵循规定的申请流程。