当行政处罚当事人面临经济困难，无法按时足额缴纳罚款时，他们可以采取一系列措施来应对这一困境。以下是一些详细的建议和指导：

一、了解法律法规

首先，当事人需要了解《中华人民共和国行政处罚法》中关于经济困难情况下罚款缴纳的相关规定。根据法律，当事人如因经济困难无法按时缴纳罚款，有权向作出行政处罚决定的行政机关申请延期或分期缴纳。

二、准备申请材料

为了证明自己的经济困难，当事人需要准备一系列相关材料。这些材料可能包括：

• 收入证明，如工资单、银行流水等；
• 财产状况证明，如房产证、车辆登记证、银行存款证明等（若无可不提供）；
• 家庭负担情况说明，如家庭成员数量、收入状况、医疗费用支出等；
• 低保证明（如有）；
• 医院诊断证明及费用清单（用于重大疾病情况）；
• 失业证明（如有）。

三、提交书面申请

在准备好相关材料后，当事人需要向作出行政处罚决定的行政机关提交一份详细的书面申请。申请中应明确阐述经济困难的具体原因、现状，以及希望如何延期或分期缴纳罚款的具体方案。同时，附上所有准备好的证明材料，以便行政机关进行审核。

四、等待行政机关审核

行政机关将对当事人提交的申请及材料进行严格审查，评估当事人的经济困难程度及其提出的延期或分期缴纳方案的合理性。这一过程中，当事人需要保持耐心，并积极配合行政机关的审核工作。

五、签订协议并履行

若行政机关批准了当事人的申请，双方将签订一份书面协议，明确约定延期或分期缴纳的具体时间、金额等关键事项。当事人应严格按照协议约定的时间和金额履行缴纳义务，以避免产生额外的法律后果。

六、后续执行中的考量与救济途径

在后续执行过程中，如果当事人的经济困难状况持续存在或加重，可以再次向行政机关提出申请，寻求更为人性化、合理的执行方式。同时，如果当事人对行政处罚决定本身持有异议，认为其存在错误或不公正，可以依法通过行政复议或行政诉讼等途径来维护自己的合法权益。

七、总结与建议

面对经济困难时的行政处罚，当事人应保持冷静和理性，积极与行政机关沟通，并依法行使自己的权利。同时，也要尊重并努力履行法律责任，通过合法途径解决争议与问题。在整个过程中，保持对法律的敬畏与遵守是至关重要的。