法人和执行董事在打官司期间，仍然可以履行其职责并签字，但具体需视其内部权限和公司章程的规定而定。以下是对此问题的详细分析：

一. 法人的签字权限

1. 法人地位与职责：法人是公司法律意义上的主体，具有独立的法律地位，并承担相应的法律责任。法人的职责通常包括代表公司对外进行民事活动，包括签署合同、文件等。
2. 签字权限的独立性：法人的签字权限通常不受公司内部纠纷或诉讼的影响。即使法人与执行董事之间存在官司，法人仍然可以依据其法人地位履行签字职责，除非公司章程或相关协议另有特别规定。

二. 执行董事的签字权限

1. 执行董事的地位：执行董事是公司的高级管理人员，负责公司日常经营管理的决策和执行。在执行职务时，执行董事有权代表公司签署相关文件。
2. 诉讼期间的影响：执行董事在打官司期间，其签字权限同样不受直接影响。除非公司章程、股东会决议或相关法律规定对其签字权限进行了特别限制，否则执行董事仍可继续履行其签字职责。

三. 公司章程与内部规定

1. 内部权限划分：公司章程或内部规定可能对公司内部人员的签字权限进行具体划分。在法人与执行董事打官司的情况下，应查阅公司章程或相关内部规定，以确定各自的签字权限是否受到特别限制。
2. 遵守公司章程：无论法人和执行董事之间是否存在纠纷，都应严格遵守公司章程和内部规定，确保公司运营的正常进行。

综上所述，法人和执行董事在打官司期间仍然可以签字，但具体需视其内部权限和公司章程的规定而定。我建议在签字前仔细查阅公司章程或相关内部规定，以确保签字行为的合法性和有效性。如有进一步需要，您可以继续咨询我。