当客户搬走了货物却未付款时，这是一起典型的合同纠纷，您可以按照以下步骤来处理：

第一步：仔细审查合同

首先，仔细查看与客户签订的合同，特别是关于付款时间、方式以及违约责任等关键条款。如果合同中明确规定了付款时间和方式，并且客户违反了这些约定，那么您就有权依据合同条款追究客户的违约责任。

第二步：与客户沟通并催款

接下来，及时与客户取得联系，了解他们未付款的原因，并要求他们在合理期限内支付货款。您可以通过书面（如邮件、催款函）或口头（如电话沟通）的形式进行催款。无论采用哪种方式，都要确保留存好相关记录，如邮件内容、聊天记录、催款函的签收凭证等，这些记录在后续可能会作为重要证据使用。

第三步：法律途径解决

如果客户在催款后仍然不履行付款义务，您可以考虑通过法律途径来解决问题。根据《民法典》等相关法律法规，您可以向法院提起诉讼，要求客户支付货款以及逾期利息等损失。在提起诉讼之前，请务必准备好充分的证据，包括合同、送货单、对账单等，以有力支持您的诉求。

第四步：申请强制执行

如果您在诉讼中获胜，但客户仍然不履行判决，您可以向法院申请强制执行。法院将有权采取多种措施来查控和处置客户的财产，以确保您能够收回货款及逾期利息等。

在处理此类问题时，请务必注意诉讼时效等法律规定，及时主张您的权利。同时，也要保持冷静和理性，避免采取过激或不合法的手段来追讨货款。如果您需要进一步的法律建议或帮助，请咨询专业的法律人士。