当检察院作出法定不起诉决定时，公安局应当遵循以下处理流程：

1. 尊重并执行决定：

   • 检察院作出的法定不起诉决定，是基于法律和案件实情作出的，公安局应予以尊重并配合执行。这体现了司法体系中各部门的分工与协作原则。

2. 释放被羁押人员并解除强制措施：

   • 若犯罪嫌疑人因本案被羁押或采取了其他强制措施，公安局应立即释放被羁押的犯罪嫌疑人，并解除扣押、冻结等强制措施。

3. 案件撤销或后续处理：

   • 在法定不起诉的情况下，如犯罪嫌疑人无犯罪事实或存在不追究刑事责任的情形，公安局应撤销案件。
   • 对于案件中的扣押、冻结的财物、文件等，公安局应根据实际情况及时返还或依法处理。

4. 申请复议或提请复核（如有异议）：

   • 若公安局认为检察院的法定不起诉决定有误，可在法定时间内向上级检察院申请复议。
   • 上级检察院会在规定期限内审查并作出决定。若公安局对复议决定仍不满，还可向上级检察院提请复核。
   • 在复议或复核期间，原不起诉决定仍需执行，以维护司法程序的稳定性和权威性。

综上所述，公安局在接到检察院的法定不起诉决定后，应尊重并执行该决定，释放被羁押人员并解除强制措施，同时根据案件实际情况进行撤销或后续处理。若对决定有异议，可通过申请复议或提请复核的方式表达异议并寻求救济。