公职人员公开发表不当言论，这个问题涉及到的是公职人员的行为规范和言论责任，一般由公职人员的管理单位或者相关监管部门来管。具体来说：

1. 管理单位责任：

   • 公职人员所属的单位或机构，对其言行有一定的管理责任。如果公职人员公开发表了不当言论，首先会由其所在单位进行初步的处理和调查。单位可能会依据内部规定，对公职人员进行警告、处分或者其他相应的管理措施。

2. 监管部门责任：

   • 相关监管部门，如纪检监察部门、组织部门等，也会对公职人员的言论和行为进行监督。如果公职人员的言论违反了相关法律法规或者社会公德，监管部门会介入调查，并根据情节严重程度，采取相应的纪律处分或者法律措施。

3. 法律责任：

   • 如果公职人员公开发表的不当言论构成了违法或犯罪，比如诽谤、造谣、煽动仇恨等，那么还会受到法律的制裁。这时，公安机关、检察机关、法院等司法机关会依法进行处理。

举个例子，如果一位公职人员在社交媒体上公开发表了侮辱、诽谤他人的言论，首先会被其所在单位进行批评教育，并可能给予行政处分；如果情节严重，构成了诽谤罪，那么受害者可以报警，公安机关会依法进行调查处理，最终可能会由法院判处相应的刑罚。

综上所述，公职人员公开发表不当言论，会由其管理单位、相关监管部门以及司法机关根据具体情况来管，并可能面临从内部处分到法律制裁不等的后果。所以，公职人员在公开发表言论时，一定要谨慎，遵守相关法律法规和社会公德，避免引发不必要的麻烦。如果你有更多关于这方面的法律问题，可以直接向我咨询，我专注于婚姻家庭、合同纠纷、行政纠纷以及刑事辩护等领域。