事业编制人员每年可以请的假主要包括年休假以及其他类型的假期，如病假、事假等。其中，年休假是事业编制人员依法享有的重要权益，具体天数依据其累计工作年限确定。

一、年休假天数

1. 累计工作已满1年不满10年的：每年可享受5天年休假。
2. 累计工作已满10年不满20年的：每年可享受10天年休假。
3. 累计工作已满20年的：每年可享受15天年休假。

需要注意的是，国家法定休假日、休息日不计入年休假的假期。

二、其他类型假期

除了年休假外，事业编制人员还可以根据实际情况请病假、事假等。这些假期的具体天数和审批流程通常由单位内部的规章制度或相关政策文件规定。例如，病假天数可能根据病情严重程度和医生建议确定，事假天数则可能由单位根据实际情况审批。

三、特殊情况说明

在某些特殊情况下，事业编制人员可能不享受当年的年休假或需要按照一定比例扣发工资。这些情况包括：依法享受寒暑假且休假天数多于年休假天数、请事假累计超过一定天数、请病假累计超过规定月数等。具体规定可参照《职工带薪年休假条例》及单位内部的相关规章制度。

综上所述，事业编制人员每年可以请的假天数并不固定，而是根据其累计工作年限、单位规章制度以及实际情况综合考虑。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我会尽力为您提供专业的解答。