公司应该开具离职证明。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定：“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。”这一条款明确规定了用人单位在解除或终止劳动合同时，必须为劳动者出具离职证明的法律义务。
二、离职证明的功能与重要性
证明劳动关系终结：离职证明是劳动者与原用人单位劳动关系终结的书面证明，对于劳动者再就业至关重要。新用人单位在招录劳动者时，通常会要求提供离职证明，以确认劳动者与原用人单位的劳动关系已经终结，避免潜在的法律风险。
申领失业保险待遇：劳动者在申请失业保险待遇时，也需要提供离职证明来证明自己处于失业状态。这是劳动者依法享受失业保险待遇的必要条件之一。
三、用人单位的责任与义务
及时出具离职证明：用人单位在解除或终止劳动合同时，应及时为劳动者出具离职证明，不得附加任何条件。如果用人单位未按时出具离职证明，给劳动者造成损失的，应承担相应的赔偿责任。
离职证明的内容要求：离职证明应当写明劳动合同期限、解除或者终止劳动合同的日期、工作岗位、在本单位的工作年限等基本信息。用人单位不得在离职证明上记载不利于劳动者再就业的内容，也不得将离职证明作为要求劳动者放弃相关权利的手段。
四、实践中的注意事项
劳动者应主动要求：在离职时，劳动者应主动向用人单位要求出具离职证明，并确认证明内容是否符合法律法规的规定。
用人单位应规范操作：用人单位应建立健全离职证明出具的管理制度，确保在解除或终止劳动合同时能够及时、规范地为劳动者出具离职证明。
综上所述，公司应该为离职员工开具离职证明，这是用人单位的法定义务，也是保障劳动者权益的重要措施。