交通肇事逃逸所逃避的法律责任，主要包括民事责任、行政责任和刑事责任三个方面：
民事责任：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第九十二条，发生交通事故后当事人逃逸的，逃逸的当事人承担全部责任。但是，有证据证明对方当事人也有过错的，可以减轻责任。这意味着，如果肇事者逃逸，他们将承担事故的全部赔偿责任，除非能证明对方也有过错。
行政责任：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条和第一百零一条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可以并处吊销机动车驾驶证，甚至终生不得重新取得机动车驾驶证。这是对逃逸行为在行政层面的严厉处罚。
刑事责任：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，如果交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，将处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，将处七年以上有期徒刑。这是逃逸行为在刑事层面的严重后果。
综上所述，交通肇事逃逸所逃避的法律责任是全方位的，不仅包括经济赔偿的民事责任，还包括行政处罚和刑事处罚。因此，建议驾驶者在发生交通事故后，切勿逃逸，而应积极面对并承担相应的责任，以减轻可能的法律后果。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。