对于开始认罪后存在的争议，应当通过细致的审查、充分的辩论以及必要的证据收集来妥善处理。

一. 审查认罪的真实性与自愿性

1. 真实性审查：首先要对认罪的真实性进行严格审查。这包括审查认罪的动机、过程以及是否存在任何外部压力或不当诱导。例如，要确认被告人是否因为受到威胁、利诱或其他非法手段而被迫认罪。
2. 自愿性审查：同时，要确保认罪是被告人自愿作出的。如果认罪是在不自愿的情况下作出的，那么该认罪可能无效。这要求审查人员仔细询问被告人的认罪过程，以及是否存在任何影响其自愿性的因素。

二. 充分辩论与证据收集

1. 辩论环节：在法庭上，应给予控辩双方充分的辩论机会。对于认罪中存在的争议点，双方应围绕事实、证据和法律适用进行深入的辩论。这有助于揭示真相，确保判决的公正性和准确性。
2. 证据收集：针对认罪中的争议点，应积极收集相关证据。这包括物证、书证、证人证言、鉴定意见等。通过全面、客观地收集证据，可以为解决争议提供有力的支持。

三. 法律适用与裁决

1. 法律适用：在审查认罪的真实性与自愿性，以及充分辩论和证据收集的基础上，法官应准确适用法律。对于认罪中存在的法律争议，应依据相关法律法规和司法解释进行裁决。
2. 裁决结果：根据审查、辩论和证据收集的结果，法官应作出公正的裁决。如果认罪被认定为真实且自愿，且证据充分支持控罪，那么被告人将被依法判决。如果认罪存在争议或证据不足，那么应依法作出相应的处理，如退回补充侦查、宣告无罪或判处相应的刑罚。

我建议，在处理认罪争议时，应始终坚持公正、客观、全面的原则。同时，也要充分保障被告人的合法权益，确保其受到公正的审判。如有进一步需要，您可以继续咨询我。