开庭后如果迟迟未下判决书，您可以采取以下措施来了解和解决问题：

一、了解通常的审理期限

首先，您需要了解法院审理案件的通常期限。根据法律规定，不同类型的案件和审理程序有不同的审限：

• 简易程序：民事案件应在立案之日起三个月内审结。
• 普通程序：民事案件应在立案之日起六个月内审结，特殊情况可延长六个月。
• 刑事案件：公诉案件一般应在受理后二个月以内宣判，至迟不得超过三个月。

二、查询判决书进展

如果判决书未在法定审限内下达，您可以采取以下方式查询案件进展：

1. 询问审理法官：直接联系审理案件的法官或法官助理，了解判决书的进展情况和延迟的具体原因。
2. 利用诉讼服务平台：登录法院的诉讼服务平台，查询案件的审理进度和相关信息。
3. 联系立案庭：通过电话或亲自前往法院的立案庭，询问案件的审理情况和判决书的下发时间。

三、采取救济途径

如果经过查询和沟通，您发现案件已经超过了法定的审理期限，且没有合理的解释或进展，您可以采取以下救济途径：

1. 向上级法院投诉：向上级法院反映情况，要求督促下级法院尽快作出判决。
2. 向法院监察部门反映：向法院的监察室或相关部门反映情况，要求其对案件的审理进度进行监督。
3. 保留证据，备查备用：妥善保留与案件相关的所有材料和证据，以备未来可能出现的各种情况，如需要申诉或复议时作为依据。

四、保持沟通与耐心

在与法院沟通的过程中，请保持耐心和理性，了解法院的工作流程和实际情况。有时候，案件的复杂性、证据的补充或合议庭成员的意见统一等因素都可能导致判决书的延迟。通过与法院的积极沟通，您可以更好地了解自己的案件进展，并维护自己的合法权益。

总之，面对开庭后判决书迟迟不下的情况，您不必过于焦虑。通过了解审理期限、查询判决书进展、采取救济途径以及保持沟通与耐心，您可以有效地解决问题并维护自己的合法权益。