电梯未按期进行维保，相关部门将责令限期改正；逾期未改正的，责令停止使用有关特种设备，并处以一万元以上十万元以下罚款。以下是具体的法律分析和相关依据：

一. 电梯属于特种设备，需按规定进行维保

• 根据《中华人民共和国特种设备安全法》第二条，电梯作为对人身和财产安全有较大危险性的设备，被纳入特种设备范畴，其生产、经营、使用、检验、检测等均需遵守该法。

二. 未按期维保的法律责任

• 根据《中华人民共和国特种设备安全法》第八十三条，特种设备使用单位未对其使用的特种设备进行经常性维护保养和定期自行检查的，责令限期改正；逾期未改正的，将面临以下处罚：
  1. 责令停止使用有关特种设备：即电梯将被停止使用，直至完成维保并符合安全要求。
  2. 罚款：处一万元以上十万元以下罚款，具体金额由监管部门根据违规情节和后果决定。

三. 实际处理流程

• 监管部门在发现电梯未按期维保后，会首先发出限期改正通知。

• 如果使用单位在限期内未完成整改，监管部门将采取进一步措施，包括责令停止使用电梯和处以罚款。

• 使用单位在收到处罚通知后，应尽快完成维保工作并缴纳罚款，以避免更严重的法律后果。

• 例如，某小区电梯因未按期进行维保被监管部门发现，监管部门首先发出限期改正通知。然而，该小区物业未在限期内完成维保工作，监管部门随后责令停止使用电梯，并对物业处以五万元罚款。

我建议，电梯使用单位应严格遵守相关法律法规，按时对电梯进行维保，确保电梯的安全运行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。