乡镇政府不能直接安排乡镇政府自己的林业工程师行使林业案件的鉴定权。以下是对此问题的详细分析：
一. 林业案件鉴定的专业性和独立性要求
专业性和资质要求：林业案件的鉴定通常涉及对林木种类、面积、价值等的认定，这些都需要专业的知识和技能。根据《中华人民共和国民事诉讼法》第七十七条和第七十八条，鉴定人应具备相应的专业知识和技能，并确保鉴定意见的科学性和准确性。在林业行政案件中，鉴定人可能包括林业专家、评估机构等，这些都需要具备相应的资质和认证。
独立性和公正性要求：林业案件的鉴定应当保持独立性和公正性。根据《关于进一步规范林业行政案件技术鉴定相关工作的通知》等文件，林业行政案件承办人不能同时兼任本案的技术鉴定人，案件需要进行技术鉴定时，应由办案单位提出申请，并由相关部门统一安排。这确保了鉴定工作的独立性和公正性，避免利益冲突。
二. 乡镇政府及林业工程师的角色定位
乡镇政府的角色：乡镇政府主要负责行政管理和公共服务，其职责范围通常不包括专业的技术鉴定工作。在林业案件中，乡镇政府主要负责案件的受理、调查、处理等工作，但具体的鉴定工作应委托给具备专业资质和技术的机构或专家进行。
林业工程师的角色：林业工程师是具备林业专业知识和技能的专业人员，他们可以在林业规划、设计、管理等方面发挥重要作用。然而，在林业案件的鉴定中，他们通常需要以专业机构或专家的身份参与，而不是直接代表乡镇政府行使鉴定权。
三. 建议
委托专业机构或专家进行鉴定：在林业案件中，乡镇政府应委托具有相关资质和技术的专业机构或专家进行鉴定，以确保鉴定意见的科学性和准确性。
遵守相关程序和规定：乡镇政府在处理林业案件时，应严格遵守相关法律法规和程序规定，确保案件的公正、公平处理。
综上所述，乡镇政府不能直接安排乡镇政府自己的林业工程师行使林业案件的鉴定权。如有需要，应委托具有专业资质和技术的机构或专家进行鉴定。我建议乡镇政府在处理林业案件时，应充分尊重专业性和独立性要求，确保案件的公正、公平处理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。