国家机关工作人员嫖娼是一种严重的违法违纪行为，不仅违反了法律法规，也损害了公职人员的形象和职业道德。针对这一问题，以下是对处理方式的详细解答：
一、法律处罚
行政处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条的规定，卖淫、嫖娼的，将处十日以上十五日以下拘留，并可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。公职人员嫖娼同样会受到此法律条款的制裁。
刑事责任：如果公职人员在嫖娼过程中涉及未成年女孩、强迫、暴力或其他违法犯罪行为，除治安处罚外，还可能触犯刑法，面临更加严厉的刑事制裁。例如，性侵害未成年人罪可能根据《刑法》相关条款被判处3至10年有期徒刑，甚至更长时间的刑期。
二、纪律处分
公务员：依据《行政机关公务员处分条例》第三十一条，公务员参与嫖娼活动的，将给予撤职或者开除处分。这意味着公职人员嫖娼行为将直接导致其职业生涯的严重受损。
中国共产党党员：对于党员公职人员，根据《中国共产党纪律处分条例》的相关规定（如第一百三十五条，但请注意实际条款可能因版本更新而有所变化），利用职权或其他关系与他人发生性关系的，将视情节轻重给予党纪处分，最高可开除党籍。
其他公职人员：对于事业单位工作人员等其他公职人员，嫖娼行为同样会受到严肃处理。根据《事业单位工作人员处分暂行规定》等相关法规，可能给予警告、记过、降低岗位等级、撤职等处分，情节严重的甚至会被开除。
三、其他后果
影响职务晋升：公职人员的职业发展与个人道德行为密切相关。嫖娼事件将严重影响其职务晋升，上级领导会对其职业道德产生严重怀疑。
社会舆论压力：如果嫖娼事件被曝光，公职人员的公众形象将严重受损，外界对其能力和道德的信任度将大幅下降。这不仅影响个人声誉，还可能波及所在单位的形象。
综上所述，国家机关工作人员嫖娼将面临严厉的法律制裁和纪律惩处，包括行政拘留、罚款、撤职、开除等处分，甚至可能承担刑事责任。因此，公职人员应严格遵守法律法规和职业道德规范，自觉维护公职人员的良好形象，避免涉足违法违纪行为。