自然人去世后银行账户新存入的钱，应作为遗产的一部分，按照法定继承或遗嘱继承的方式进行处理。具体分析如下：

一. 遗产的认定

• 自然人去世后，其遗留的合法财产均为遗产，包括银行账户中的存款，不论这些存款是去世前存入还是去世后新存入的（如抚恤金、丧葬费、工资结算等）。新存入的钱款，如果是在去世后才产生的，且没有特定的法律或合同规定其归属，那么也应视为遗产的一部分。

二. 继承的处理

1. 有遗嘱的情况：

    - 如果去世的自然人留有合法有效的遗嘱，且遗嘱中明确规定了新存入钱款的继承方式，那么应按照遗嘱的规定进行处理。
   

2. 没有遗嘱的情况：

    - 如果没有遗嘱，那么新存入的钱款应按照法定继承的顺序进行分配。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产首先由第一顺序继承人（配偶、子女、父母）继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
   

三. 取款或过户手续

• 无论是按照遗嘱继承还是法定继承，继承人都需要凭借相应的继承权证明（如继承公证书或法院生效判决书）以及身份证、户口本等证件，到银行办理存款的支取或过户手续。

四. 特殊情况的处理

• 如果继承人不清楚银行账户中是否有新存入的钱款，可以向公证机构申请查询被继承人的银行存款信息，或通过法院诉讼申请调查。

综上所述，自然人去世后银行账户新存入的钱，应作为遗产进行处理，继承人需根据遗嘱或法定继承的规定，凭借相应的继承权证明到银行办理取款或过户手续。如有进一步需要，您可以继续咨询我。