继父是否有权起诉母亲留下的遗嘱，取决于具体情况。下面我将从不同角度为您详细分析：

1. 遗嘱的合法性：

   • 如果母亲留下的遗嘱是合法有效的，即遗嘱符合《民法典》中关于遗嘱形式和内容的规定，那么继父通常没有权利起诉遗嘱本身。遗嘱是遗嘱人真实意愿的表达，一旦生效，应得到尊重和执行。
   • 如果遗嘱存在违法或无效的情况，如遗嘱人立遗嘱时不具备完全民事行为能力、遗嘱内容违反法律或公序良俗、遗嘱形式不符合法律规定等，那么继父作为利害关系人之一，有可能有权提起诉讼，请求确认遗嘱无效。

2. 继父的继承权：

   • 如果继父与母亲之间存在合法的婚姻关系，并且母亲在遗嘱中没有剥夺继父的继承权，那么继父作为法定的第一顺序继承人之一，有权按照遗嘱或法定继承的规定继承母亲的遗产。
   • 如果母亲在遗嘱中明确剥夺了继父的继承权，或者继父与母亲之间不存在合法的婚姻关系（如仅为同居关系），那么继父可能无权直接继承母亲的遗产，但这也并不意味着他一定有权起诉遗嘱。

3. 诉讼的法律依据：

   • 继父如果认为遗嘱存在违法或无效的情况，或者认为自己的继承权受到了侵犯，他需要依据《民法典》的相关规定提起诉讼。
   • 在提起诉讼前，继父需要收集足够的证据来支持自己的主张，如遗嘱的复印件、遗嘱人立遗嘱时的精神状态证明、遗嘱人与继父之间的婚姻关系证明等。

综上所述，继父是否有权起诉母亲留下的遗嘱取决于多个因素，包括遗嘱的合法性、继父的继承权以及诉讼的法律依据等。如果继父认为自己的权益受到了侵犯，建议他咨询专业律师（比如我），以便更准确地了解自己的权利和义务，并采取合适的法律行动。