广发信用卡欠款一万多，银行有可能会起诉。具体分析如下：

一. 欠款金额与起诉可能性

• 欠款一万多，属于一定数额的欠款，银行在多次催收无果后，有可能会选择通过法律途径来追讨欠款，即向法院提起诉讼。

二. 恶意透支与法律责任

• 根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条，如果持卡人恶意透支，即超过规定限额或规定期限透支，并且经发卡银行催收后仍不归还，数额较大的，将可能面临五年以下有期徒刑或者拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金的处罚。欠款一万多，若经银行两次催收后超过3个月仍不归还，即可能构成恶意透支，银行有权起诉并追究持卡人的刑事责任。

三. 民事诉讼与诉讼时效

• 除了刑事责任，银行还可以通过民事诉讼来追讨欠款。根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。这意味着，如果信用卡欠款问题转化为民事纠纷，银行需要在知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起三年内提起诉讼。

综上所述，广发信用卡欠款一万多，银行在多次催收无果后，有可能会选择起诉来追讨欠款。因此，我建议持卡人尽快与银行协商还款，避免产生更严重的法律后果。如有进一步需要，您可以继续咨询我。