事业单位非工会会员代表不可以担任专职工会干事。下面我将从相关法律法规和工会组织的性质两个方面进行解释：

1. 法律法规依据：

   • 根据《中国工会章程》的相关规定，工会会员有选举权和被选举权，参与工会的组织和管理。而专职工会干事作为工会的重要职务，通常需要由工会会员来担任，以确保其能够代表会员的利益，履行工会的职责。
   • 非工会会员代表并未加入工会，因此不具备工会会员的资格和权利，也就无法担任需要工会会员身份的专职工会干事。

2. 工会组织的性质：

   • 工会是职工自愿结合的工人阶级的群众组织，其宗旨是维护职工权益，促进职工发展。专职工会干事作为工会的重要成员，需要深入了解职工的需求和诉求，积极为职工服务。
   • 非工会会员代表由于未加入工会，可能无法充分理解和代表职工的利益，也无法有效履行专职工会干事的职责。

综上所述，事业单位非工会会员代表由于不具备工会会员的资格和权利，以及无法充分理解和代表职工的利益，因此不能担任专职工会干事。如有其他关于工会或公司法务的问题，欢迎随时向我咨询。