司机没有法律义务将醉酒不醒的乘客送到医院。下面我将对此进行详细分析：

一. 司机与乘客的法律关系

1. 合同关系：乘客乘坐出租车，与司机之间建立了运输合同关系。司机的主要义务是将乘客安全送达目的地，而乘客的义务则是支付运费。
2. 义务范围：在这种合同关系中，司机的义务并不包括将醉酒不醒的乘客送到医院。司机的职责是提供运输服务，而非提供医疗救助或照顾服务。

二. 法律责任的界定

1. 无直接法律规定：在我国现行法律中，并没有明确规定司机在乘客醉酒不醒时有送其到医院的义务。
2. 道德考量与法律责任：虽然从道德层面讲，司机可能会考虑乘客的安全而采取某些措施，但这并不构成法律上的义务。法律责任是基于法律规定而产生的，而非道德要求。

三. 实际操作的建议

1. 司机可采取的措施：如果司机发现乘客醉酒不醒，可以尝试唤醒乘客或询问其是否需要帮助。如果乘客无法清醒或表达不清，司机可以报警或寻求其他合适的帮助。
2. 避免纠纷：为了避免潜在的纠纷，司机可以在乘客上车时明确询问其是否饮酒，并在发现乘客醉酒时采取谨慎态度，如拒绝载客或要求乘客有陪同人员等。

综上所述，司机没有法律义务将醉酒不醒的乘客送到医院。但出于道德和人道主义考虑，司机可以采取一些合理的措施来确保乘客的安全。如有进一步需要，您可以继续咨询我。