修路破坏粮田的管理责任涉及多个政府部门，主要包括自然资源部门、农业农村部门以及交通运输部门等。下面我将详细解释这些部门的职责以及如何处理相关问题：

1. 管理部门及职责：

   • 自然资源部门：负责土地管理的相关工作，包括土地征收的审批、农用地转用的管理，以及对被占用农田的地类、面积、权属等进行调查核实，确保土地使用符合规划，并保障土地权益人的合法权益。
   • 农业农村部门：负责评估占用农田对农业生产和农民权益的影响，指导后续对农业生产的恢复，并监督占用农田造成的农业设施损毁和农田质量变化。
   • 交通运输部门：作为修路项目的主管部门，负责道路建设的规划、立项、设计和施工等工作的组织实施，确保道路建设符合交通规划和技术标准。

2. 处理方式：

   • 当修路项目需要占用农田时，政府或相关部门会与农田所有者进行协商，达成补偿协议，补偿可能包括土地补偿费、安置补助费、青苗补偿费等。
   • 如果修路占用农田而未给予补偿，农田所有者可以向当地县级以上政府土地行政主管部门反映情况，寻求帮助。土地管理部门有权对征收行为进行调查，并确保补偿款项能够按时、足额地发放到被征地农民手中。
   • 若对补偿方案不满意或协商无果，农田所有者可以依法向有关部门提出申诉，甚至寻求法律援助以维护自身合法权益。

3. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国土地管理法》的相关规定，国家征收土地需由县级以上地方人民政府公告并组织实施，且应给予公平、合理的补偿，确保被征地农民原有生活水平不降低，长远生计有保障。
   • 如果征收土地未依法给予补偿，被征地农民有权依法维权，相关部门也应依法履行职责，保障农民的合法权益。

综上所述，修路破坏粮田的管理责任涉及多个部门，农田所有者可以通过向相关部门反映情况、寻求法律援助等方式来维护自己的合法权益。如果您在这方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。