城区小巷道的雨篦子坏了，一般由负责该区域市政设施维护的部门或单位负责。具体来说：
市政设施维护部门：在大多数城市中，市政设施（包括小巷道的雨篦子）的维护和管理是由城市管理综合行政执法局或其下属的市政工程服务中心等类似部门负责的。这些部门有专门的维修团队，负责及时修复损坏的市政设施，以确保市民的安全出行。
具体责任划分：
- 如果小巷道属于城市公共区域，且雨篦子是市政设施的一部分，那么其损坏后的维修责任就落在市政设施维护部门身上。
- 如果小巷道位于某个小区或单位内部，且雨篦子是由该小区或单位自行安装的，那么其维修责任就应由该小区或单位承担。
维修流程：
- 当发现雨篦子损坏时，市民可以及时向市政设施维护部门反映情况，通常可以通过拨打24小时值班热线、网上反馈或现场报告等方式进行。
- 市政设施维护部门在接到反映后，会尽快安排维修人员前往现场进行勘查和维修。
- 维修完成后，部门还会进行后续的巡查和保养工作，以确保雨篦子等市政设施的正常运行和市民的安全出行。
综上所述，城区小巷道的雨篦子坏了，市民应及时向市政设施维护部门反映情况，由他们负责维修和更换。如果你在具体操作中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。