担保公司被法院执行后，应首先承担担保责任，随后有权向债务人追偿。以下是对此结论的详细分析：

一. 承担担保责任

1. 核实担保责任：担保公司需核实担保合同的具体条款，明确担保范围、担保方式及担保期限等，以确保对担保责任有清晰准确的了解。
2. 配合法院执行：若法院依据生效法律文书要求担保公司承担担保责任，担保公司应积极配合执行，如提供必要的财产信息、协助执行等。
3. 执行异议：如担保公司认为执行行为存在错误或不当，可依法向法院提出执行异议，申请法院对执行行为进行审查。

二. 向债务人追偿

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第三百九十二条，提供担保的第三人在承担担保责任后，有权向债务人追偿。
2. 追偿程序：

    - **发出追偿通知**：担保公司应向债务人发出书面追偿通知，明确告知其已代其偿还债务，并要求偿还代偿款项。
    - **提起诉讼**：若债务人拒绝偿还，担保公司可向有管辖权的法院提起追偿权诉讼，要求债务人承担还款责任。在诉讼中，担保公司需提供充分证据以证明其追偿权及金额。
   

三. 关注公司信用与风险防范

1. 公司信用：担保公司被执行后可能对公司信用产生影响，因此需加强信用管理，及时与相关部门沟通，减少不良影响。
2. 风险防范：担保公司在未来业务中应更加谨慎，加强风险评估和审查，避免类似风险再次发生。

综上所述，担保公司在被法院执行后，应首先承担担保责任，并积极配合法院执行工作。随后，担保公司有权向债务人追偿，以确保自身合法权益得到维护。同时，担保公司还需关注公司信用和风险防范，以减少潜在风险。如有进一步需要，您可以继续咨询我。