针对你提出的问题，关于网上赌博输了公款4万后自首的法律后果，以下是我的详细解答：

首先，明确法律后果：

1. 是否构成赌博罪：以营利为目的，聚众赌博或者以赌博为业的，才构成赌博罪。如果你只是偶尔参与赌博，且不以赌博为业，那么你的行为可能不构成赌博罪，但可能会面临治安处罚。若你的行为被认定为赌博罪，则自首属于法定从轻或者减轻处罚的情节。

2. 量刑考量：若构成赌博罪，根据情节轻重，量刑会有所不同，一般处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。在你自首的情况下，如果能证明自己主要是输钱而非营利，比如有证据显示自己是受他人诱骗参与赌博等，这在量刑时会作为一个考量因素，可能会对你从轻处罚。

接下来，关于自首的处理：

• 你应主动向公安机关投案，并如实供述自己参与赌博的行为。
• 在司法程序中，要积极配合调查，提供相关线索。

最后，关于后续影响：

• 如果你的行为构成犯罪，会留下犯罪记录，这对你的工作、生活等方面可能产生一定影响。
• 但自首可以争取从轻处罚，一定程度上减轻这种负面影响。

综上所述，网上赌博输了公款后自首的法律后果取决于你的具体行为是否构成赌博罪，以及你在自首过程中的表现。如果你需要更详细的法律帮助或咨询，请直接向我提问，我会根据你的具体情况提供更专业的法律建议。