针对您提出的问题“单位竣工验收记录监理没盖公章可以先盖设计公章吗”，首先我们需要明确竣工验收记录中各相关单位盖章的意义和流程。

在竣工验收过程中，各个参与单位，包括施工单位、监理单位、设计单位等，都需要按照规定的程序在相应的文件上盖章，以确认其对该部分工作的认可和负责。监理单位作为工程监督的重要一环，其盖章是表示对工程施工质量和过程的监督确认。而设计单位的盖章，则通常是对设计图纸与实际施工情况一致性的确认。

具体到您的问题，如果监理单位尚未在竣工验收记录上盖章，而您询问是否可以先由设计单位盖章，这实际上涉及到了竣工验收的流程和各方责任的问题。在正常的竣工验收流程中，监理单位应当先对工程质量等进行全面检查并盖章确认，随后设计单位才会根据施工情况与设计图纸的一致性进行盖章确认。

因此，在监理单位尚未盖章的情况下，建议先不要急于让设计单位盖章。因为监理单位未盖章可能意味着其对某些工程内容或质量存在疑虑或未完全确认，此时如果设计单位先盖章，可能会引发后续的责任纠纷或流程混乱。

正确的做法应该是与监理单位沟通，了解其未盖章的具体原因，并尽快解决相关问题，以便监理单位能够顺利完成盖章手续。在监理单位盖章确认后，再按照流程请设计单位进行盖章确认。

综上所述，为了确保竣工验收流程的顺畅和各方责任的明确，建议在监理单位盖章后再进行设计单位的盖章工作。